Aprendamos A Factorizar
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lunes, 19 de octubre de 2009
sábado, 5 de septiembre de 2009
jueves, 3 de septiembre de 2009
miércoles, 27 de mayo de 2009
CLASIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
De acuerdo al número de términos, las expresiones algebraicas se pueden clasificar generalmente en monomios y polinomios.
MONOMIO:
Es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo, 12m⁴, - a² b ,
POLINOMIO:
Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos.
Ejemplo:
a. x+y+z
b. 9m² - 16n⁴
c. 2x⁴ + 5x⁵ - 54x – 135
Los polinomios de dos términos reciben el nombre especial de BINOMIOS.
Ejemplos de binomios:
a. x² - y²
b. a⁴ b⁵ + 3 a² b² c⁷
Los polinomios de tres términos reciben el nombre de TRINOMIOS.
Son ejemplos de trinomios:
a. x² - 10x + 25
b. ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵
ACLARACION IMPORTANTE:
En algunos modernos libros de álgebra, el concepto de polinomio varía mucho del concepto tradicional que acabamos de mencionar.
Veamos este concepto moderno:
“La condición para que una expresión sea polinomio es que todos los exponentes de la variable sean enteros y positivos”
En cambio, la expresión 2x⁵ es un polinomio de acuerdo a la expresión dada, pues su exponente es entero y positivo.
Así también, la cantidad 5 es un polinomio, pues este número lo podemos expresar como 5x0 donde vemos que el exponente es entero y no es negativo.
MONOMIO:
Es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo, 12m⁴, - a² b ,
POLINOMIO:
Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos.
Ejemplo:
a. x+y+z
b. 9m² - 16n⁴
c. 2x⁴ + 5x⁵ - 54x – 135
Los polinomios de dos términos reciben el nombre especial de BINOMIOS.
Ejemplos de binomios:
a. x² - y²
b. a⁴ b⁵ + 3 a² b² c⁷
Los polinomios de tres términos reciben el nombre de TRINOMIOS.
Son ejemplos de trinomios:
a. x² - 10x + 25
b. ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵
ACLARACION IMPORTANTE:
En algunos modernos libros de álgebra, el concepto de polinomio varía mucho del concepto tradicional que acabamos de mencionar.
Veamos este concepto moderno:
“La condición para que una expresión sea polinomio es que todos los exponentes de la variable sean enteros y positivos”
En cambio, la expresión 2x⁵ es un polinomio de acuerdo a la expresión dada, pues su exponente es entero y positivo.
Así también, la cantidad 5 es un polinomio, pues este número lo podemos expresar como 5x0 donde vemos que el exponente es entero y no es negativo.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es la representación de un símbolo o de una o más operaciones algebraicas.
En las operaciones algebraicas vamos a utilizar continuamente los conceptos siguientes:
- COEFICIENTE
- TÉRMINO
- PARTE LITERAL
- GRADO
- MONOMIO
- POLINOMIO, ETC.
A continuación, se explica cada uno de ellos:
COEFICIENTE:
Es el número que va antes de las letras o antes del signo radical.
Ejemplos:
Expresión algebraica Coeficiente
x³ 1
-5x²y⁴ -5
-a⁶b⁷c⁵ -1
Una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos “no separados entre sí por signo + o signo –“, recibe el nombre de término.
Son ejemplos de términos:
a. -5a²bc³x⁵
b. m³n⁴
c. 2b
En un término pueden distinguirse cuatro elementos:
- el signo
- el coeficiente
- parte literal
- el grado.
EL SIGNO determina si el término es positivo o negativo.
Ejemplos:
a. Son términos positivos: 4m⁵ , +3t⁶ , 5y/6
b. Son términos negativos: -2xy , -3z⁵/5 , -5m/12x
NOTA: Cuando un término no lleva signo más o signo menos, se sobreentiende que es positivo.
PARTE LITERAL:
Está formada por las letras que van en el término.
Así, en la expresión 2a²m, la parte literal es a²m
GRADO: ABSOLUTO Y RELATIVO
EL GRADO:
El grado de un término puede ser:
a) Absoluto.
b) Con relación a una letra.
El grado absoluto es la suma de los exponentes de las letras que va en el término.
Por ejemplo, el término: 8a⁵b²m³ es de décimo grado o de grado 10 porque 5+2+3=10
El término -3xy⁶/4 es de séptimo grado porque 1+6 = 7
El grado de un término con relación a una letra es el exponente que tiene dicha letra. (Este es conocido como grado relativo).
Ejemplo:
a) El término 4b²z⁵ es de segundo grado con relación a “b” y de quinto grado con relación a “z”.
En las operaciones algebraicas vamos a utilizar continuamente los conceptos siguientes:
- COEFICIENTE
- TÉRMINO
- PARTE LITERAL
- GRADO
- MONOMIO
- POLINOMIO, ETC.
A continuación, se explica cada uno de ellos:
COEFICIENTE:
Es el número que va antes de las letras o antes del signo radical.
Ejemplos:
Expresión algebraica Coeficiente
x³ 1
-5x²y⁴ -5
-a⁶b⁷c⁵ -1
Una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos “no separados entre sí por signo + o signo –“, recibe el nombre de término.
Son ejemplos de términos:
a. -5a²bc³x⁵
b. m³n⁴
c. 2b
En un término pueden distinguirse cuatro elementos:
- el signo
- el coeficiente
- parte literal
- el grado.
EL SIGNO determina si el término es positivo o negativo.
Ejemplos:
a. Son términos positivos: 4m⁵ , +3t⁶ , 5y/6
b. Son términos negativos: -2xy , -3z⁵/5 , -5m/12x
NOTA: Cuando un término no lleva signo más o signo menos, se sobreentiende que es positivo.
PARTE LITERAL:
Está formada por las letras que van en el término.
Así, en la expresión 2a²m, la parte literal es a²m
GRADO: ABSOLUTO Y RELATIVO
EL GRADO:
El grado de un término puede ser:
a) Absoluto.
b) Con relación a una letra.
El grado absoluto es la suma de los exponentes de las letras que va en el término.
Por ejemplo, el término: 8a⁵b²m³ es de décimo grado o de grado 10 porque 5+2+3=10
El término -3xy⁶/4 es de séptimo grado porque 1+6 = 7
El grado de un término con relación a una letra es el exponente que tiene dicha letra. (Este es conocido como grado relativo).
Ejemplo:
a) El término 4b²z⁵ es de segundo grado con relación a “b” y de quinto grado con relación a “z”.
VALOR NUMERICO
Si en una expresión algebraica le damos valores a las letras, entonces esa expresión tendrá un valor determinado, al cual llamaremos VALOR NUMERICO.
Para hallar el valor numérico de una expresión, sustituimos cada letra por el valor dado y efectuamos las operaciones indicadas.
Ejemplo:
Hallar el valor numérico de 4x²y⁴
si x= - 2 y y = 1
SOLUCIÓN:
Se sustituyen las letras por su valor:
= 4(-2)² (1)⁴
= 4(4)(1)
= 16
Para hallar el valor numérico de una expresión, sustituimos cada letra por el valor dado y efectuamos las operaciones indicadas.
Ejemplo:
Hallar el valor numérico de 4x²y⁴
si x= - 2 y y = 1
SOLUCIÓN:
Se sustituyen las letras por su valor:
= 4(-2)² (1)⁴
= 4(4)(1)
= 16
TERMINOS SEMEJANTES
TERMINOS SEMEJANTES
Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras con los mismos exponentes.
Ejemplos:
a. 2a⁵ y -4a⁵
b. -3m² y 3m²/4
c. 10x²y³z⁵ y -4 x²y³z⁵/5
Si los exponentes de una misma letra no son iguales, entonces los términos no son semejantes. Por ejemplo: m²n⁵ y 3m⁵n² no son semejantes porque los exponentes de una misma letra no son iguales.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Mediante esta operación convertimos dos o más términos semejantes en un solo término. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir dos casos:
1. Que los términos tengan igual signo.
2. Que lo términos tengan distinto signo.
Ejemplos del primer caso:
a. 2x² + 5x² = 7x²
b. -6m – 4m = -10m
c. -a³ - 3a³ - 8a³ - 10a³ = -22a³
d. -2t ͫ - t ͫ = -3t ͫ
e. ½xy + ⅔ xy = 7/6xy
Observemos que si los términos semejantes tienen el mismo signo, escribimos en la respuesta ese mismo signo, luego sumamos los coeficientes y colocamos la misma parte literal.
En el caso de que los términos tengan distinto signo, escribimos el signo del mayor, restamos los coeficientes y después se escribe la misma parte literal.
Ejemplos del segundo caso:
REDUCIR:
a. -10a⁴ + 6a⁴ = -4a⁴
b. ⅔ x²y³ - x²y³ = - x2y3/6
c. -12pqt² + 40pqt² = 28pqt²
d. - ½mxy + 0.85mxy = 0.35mxy
e. 2/5 spq – 0.94spq = -0.54spq
Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras con los mismos exponentes.
Ejemplos:
a. 2a⁵ y -4a⁵
b. -3m² y 3m²/4
c. 10x²y³z⁵ y -4 x²y³z⁵/5
Si los exponentes de una misma letra no son iguales, entonces los términos no son semejantes. Por ejemplo: m²n⁵ y 3m⁵n² no son semejantes porque los exponentes de una misma letra no son iguales.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Mediante esta operación convertimos dos o más términos semejantes en un solo término. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir dos casos:
1. Que los términos tengan igual signo.
2. Que lo términos tengan distinto signo.
Ejemplos del primer caso:
a. 2x² + 5x² = 7x²
b. -6m – 4m = -10m
c. -a³ - 3a³ - 8a³ - 10a³ = -22a³
d. -2t ͫ - t ͫ = -3t ͫ
e. ½xy + ⅔ xy = 7/6xy
Observemos que si los términos semejantes tienen el mismo signo, escribimos en la respuesta ese mismo signo, luego sumamos los coeficientes y colocamos la misma parte literal.
En el caso de que los términos tengan distinto signo, escribimos el signo del mayor, restamos los coeficientes y después se escribe la misma parte literal.
Ejemplos del segundo caso:
REDUCIR:
a. -10a⁴ + 6a⁴ = -4a⁴
b. ⅔ x²y³ - x²y³ = - x2y3/6
c. -12pqt² + 40pqt² = 28pqt²
d. - ½mxy + 0.85mxy = 0.35mxy
e. 2/5 spq – 0.94spq = -0.54spq
COMO ORDENAR POLINOMIOS
Para ordenar un polinomio, lo podemos hacer en orden ascendente o en forma descendente con relación a una letra, llamada LETRA ORDENATRIZ.
Ejemplo: Ordenar el polinomio -3m² + m⁵ + 10m³ + 16 + 2m⁴ - m
En orden descendente: m⁵ + 2m⁴ - 10m³ - 3m² - m + 16
En orden ascendente: 16 – m – 3m² - 10m³ + 2m⁴ + m⁵
NOTA: Puede faltar cualquier término intermedio.
Ejemplo: Ordenar el polinomio -3m² + m⁵ + 10m³ + 16 + 2m⁴ - m
En orden descendente: m⁵ + 2m⁴ - 10m³ - 3m² - m + 16
En orden ascendente: 16 – m – 3m² - 10m³ + 2m⁴ + m⁵
NOTA: Puede faltar cualquier término intermedio.
martes, 26 de mayo de 2009
Como convertir fracciones a números mixtos.
Para convertir una fracción a número mixto, lo primero que debes verificar es que sea una fracción impropia, estas son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador.
Después debes dividir el numerador entre el denominador. Ten cuidado de sacar solamente la cantidad entera.
Al momento en que ya no se pueda dividir porque el dividendo sea menor que el divisor, formarás la fracción que acompañará al número entero.
Por ejemplo:
Si tenemos la fracción 5/4, convertirla en número mixto.
Solución:
Divides el 5 entre 3 y te dará 1.
Este 1 será el entero.
Al verificar, te darás cuenta que te sobró 2 unidades, las cuales deberías dividir entre 3. Como ya no puedes, entonces estos números formarán esa fracción.
La respuesta al ejemplo será un entero dos tercios. (1/2/3)
Después debes dividir el numerador entre el denominador. Ten cuidado de sacar solamente la cantidad entera.
Al momento en que ya no se pueda dividir porque el dividendo sea menor que el divisor, formarás la fracción que acompañará al número entero.
Por ejemplo:
Si tenemos la fracción 5/4, convertirla en número mixto.
Solución:
Divides el 5 entre 3 y te dará 1.
Este 1 será el entero.
Al verificar, te darás cuenta que te sobró 2 unidades, las cuales deberías dividir entre 3. Como ya no puedes, entonces estos números formarán esa fracción.
La respuesta al ejemplo será un entero dos tercios. (1/2/3)
lunes, 25 de mayo de 2009
OPERACIONES CON POLINOMIOS
GENERALIDADES ALGEBRAICAS
A continuación encontrarás algunos links que te servirán, visítalos:
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
http://www.vitutor.net/1/0_14.html
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm
http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1068
video:
http://video.google.es/videosearch?q=POLINOMIOS&sourceid=navclient-ff&rlz=1B3GGGL_esSV283SV296&um=1&ie=UTF-8&ei=BHH3SdS_A4aNtgeMlJDtDw&sa=X&oi=video_result_group&resnum=4&ct=title#
CONCEPTOS DE ALGEBRA:
a. Es la rama de la matemática que estudia las cantidades de la forma más general posible.
b. Es la rama de la Matemática que generaliza las cantidades representándolas por medio de letras.
NOTACION ALGEBRAICA
.En álgebra, las cantidades son representadas por números y letras.
En álgebra como en aritmética, los números representan cantidades conocidas.Las letras representan cualquier cantidad, ya sea conocida o desconocida.
Una misma letra puede tener distintos valores, dependiendo de la expresión donde la estemos utilizando.
Así, por ejemplo, en la ecuación x + 1 = 5, la letra “x” vale 4; pero, en la ecuación x + 1 = -2, la “x” tiene valor de -3.
Por lo tanto, una misma letra podrá tener infinidad de valores distintos.
SIMBOLOS ALGEBRAICOS
Los signos empleados en álgebra pueden ser de tres clases:
a. De operación.
b. De relación.
c. De agrupación.
SIGNOS DE OPERACIÓN:
Las operaciones principales que se pueden realizar en álgebra, son: Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.
En las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, se emplean los mismos signos que ya conocemos en aritmética ( +, -, x, ÷), aunque en la multiplicación se puede usar un punto como signo de producto, así, para escribir m por n, podemos escribir m.n
Podemos usar también paréntesis para indicar multiplicación, así (m)(n).
En la división, para indicar a÷b, podemos expresarlo así a/b.
En la potenciación, el exponente indica cuántas veces una letra o cantidad se toma como factor.
Así, x⁵ es lo mismo que x.x.x.x.x
x⁵
Donde:
x es la base
5 es el exponente
Para la extracción de raíces se usa el signo radical √ así √x
se lee:raíz cuadrada de x.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación que se emplean frecuentemente son:
- El paréntesis ( )
- El corchete [ ]
- Las llaves { }
Cuando se tiene operaciones indicadas como 5a(6 + 4), debemos tener cuidado de efectuar las operaciones en el debido orden…
Para mayor facilidad, se efectúa primeramente la operación que está entre paréntesis, luego la multiplicación, es decir, que al encontrar signos de agrupación, entonces, la operación colocada dentro de ellos debe efectuarse primero.
Así, tenemos que en la expresión (m + n) ÷ (x + y ), indica que las primeras operaciones que deben hacerse son la suma y la resta que están entre paréntesis, por último se realiza la división.
Ejercicio:
Escribe el orden en que se realizará cada operación en cada una de las siguientes expresiones.
a. (m – n) x
b. a – {(x + y)(m ÷ n)}
c. (x + y) ÷ [(a – b)(b + c)]
SIGNOS DE RELACIÓN
Entre dos cantidades se puede establecer una relación de igualdad o de desigualdad. Por lo cual, los símbolos que se usan son: = , >, b , que se lee “a mayor que b”M < n , que se lee “m menor que n”Ejercicios:Sustituyendo las letras por sus valores, escribe uno de los signos de relación, según convenga, colocándolo entre cada pareja de cantidades.Sabiendo que:m=1 n=2 x=3 y=5a) 5m ______________ 3xb) 6n ______________ 3yc) 2n ______________ 2xd) 5x ______________ 8me) 16m _____________ 3yf) 4y ______________ 12n
A continuación encontrarás algunos links que te servirán, visítalos:
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
http://www.vitutor.net/1/0_14.html
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm
http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1068
video:
http://video.google.es/videosearch?q=POLINOMIOS&sourceid=navclient-ff&rlz=1B3GGGL_esSV283SV296&um=1&ie=UTF-8&ei=BHH3SdS_A4aNtgeMlJDtDw&sa=X&oi=video_result_group&resnum=4&ct=title#
CONCEPTOS DE ALGEBRA:
a. Es la rama de la matemática que estudia las cantidades de la forma más general posible.
b. Es la rama de la Matemática que generaliza las cantidades representándolas por medio de letras.
NOTACION ALGEBRAICA
.En álgebra, las cantidades son representadas por números y letras.
En álgebra como en aritmética, los números representan cantidades conocidas.Las letras representan cualquier cantidad, ya sea conocida o desconocida.
Una misma letra puede tener distintos valores, dependiendo de la expresión donde la estemos utilizando.
Así, por ejemplo, en la ecuación x + 1 = 5, la letra “x” vale 4; pero, en la ecuación x + 1 = -2, la “x” tiene valor de -3.
Por lo tanto, una misma letra podrá tener infinidad de valores distintos.
SIMBOLOS ALGEBRAICOS
Los signos empleados en álgebra pueden ser de tres clases:
a. De operación.
b. De relación.
c. De agrupación.
SIGNOS DE OPERACIÓN:
Las operaciones principales que se pueden realizar en álgebra, son: Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.
En las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, se emplean los mismos signos que ya conocemos en aritmética ( +, -, x, ÷), aunque en la multiplicación se puede usar un punto como signo de producto, así, para escribir m por n, podemos escribir m.n
Podemos usar también paréntesis para indicar multiplicación, así (m)(n).
En la división, para indicar a÷b, podemos expresarlo así a/b.
En la potenciación, el exponente indica cuántas veces una letra o cantidad se toma como factor.
Así, x⁵ es lo mismo que x.x.x.x.x
x⁵
Donde:
x es la base
5 es el exponente
Para la extracción de raíces se usa el signo radical √ así √x
se lee:raíz cuadrada de x.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación que se emplean frecuentemente son:
- El paréntesis ( )
- El corchete [ ]
- Las llaves { }
Cuando se tiene operaciones indicadas como 5a(6 + 4), debemos tener cuidado de efectuar las operaciones en el debido orden…
Para mayor facilidad, se efectúa primeramente la operación que está entre paréntesis, luego la multiplicación, es decir, que al encontrar signos de agrupación, entonces, la operación colocada dentro de ellos debe efectuarse primero.
Así, tenemos que en la expresión (m + n) ÷ (x + y ), indica que las primeras operaciones que deben hacerse son la suma y la resta que están entre paréntesis, por último se realiza la división.
Ejercicio:
Escribe el orden en que se realizará cada operación en cada una de las siguientes expresiones.
a. (m – n) x
b. a – {(x + y)(m ÷ n)}
c. (x + y) ÷ [(a – b)(b + c)]
SIGNOS DE RELACIÓN
Entre dos cantidades se puede establecer una relación de igualdad o de desigualdad. Por lo cual, los símbolos que se usan son: = , >,
ANGULOS
UNIDAD 4
MIDAMOS ANGULOS
ANGULOS: positivos y negativo
Un ángulo <>
El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo.
El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal.
Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo.
El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitado. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales, estos ángulos se llaman ángulos coterminales.Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación.Así como los segmentos se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden comúnmente en grados o radianes.
Medición en grados.
Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600).
Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados.
Definiciones:
Angulo llano: es un ángulo que mide 180 grados.
Angulo recto: es un ángulo que mide 90 grados.
Angulo agudo: es un ángulo que mide menos de 90 grados.
Angulo obtuso: es un ángulo que mide más de 90 grados pero menos de 180 grados.
Angulo central: es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.
Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 90 grados .
Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180 grados.
Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).
Medición en radianes.
Si el vértice de un ángulo q está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a q en la circunferencia es s, entonces q medido en radianes está dado por:
Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que intersecta un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, q se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo.
Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades.
Ejemplo:
Halla en radianes la medida de un ángulo central q opuesto a la longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación:
1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas
2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros
3) ¿Cuál es la medida de un ángulo central q opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies?
CONVERSIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES: La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que:
Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas:
Radianes a grados
X°=(〖180〗^0*rad)/(π rad)
Grados a radianes
x= (π rad*cant en grados)/〖180〗grados
1) Cambia de radianes a grado:
a) 5 radianes
b) 6π /7 rad
c) -5π /12 rad
2) Cambia de grados a radianes:
a) 750
b) 1500
c) -150
Ejercicio de práctica:
1) Cambia de radianes a grado:
a) 1 radian.
b) 17π/10 radianes
2) Cambia de grados a radianes:
a) 240 grados
b) 270 grados
MIDAMOS ANGULOS
ANGULOS: positivos y negativo
Un ángulo <>
El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo.
El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal.
Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo.
El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitado. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales, estos ángulos se llaman ángulos coterminales.Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación.Así como los segmentos se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden comúnmente en grados o radianes.
Medición en grados.
Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600).
Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados.
Definiciones:
Angulo llano: es un ángulo que mide 180 grados.
Angulo recto: es un ángulo que mide 90 grados.
Angulo agudo: es un ángulo que mide menos de 90 grados.
Angulo obtuso: es un ángulo que mide más de 90 grados pero menos de 180 grados.
Angulo central: es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.
Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 90 grados .
Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180 grados.
Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).
Medición en radianes.
Si el vértice de un ángulo q está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a q en la circunferencia es s, entonces q medido en radianes está dado por:
Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que intersecta un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, q se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo.
Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades.
Ejemplo:
Halla en radianes la medida de un ángulo central q opuesto a la longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación:
1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas
2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros
3) ¿Cuál es la medida de un ángulo central q opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies?
CONVERSIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES: La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que:
Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas:
Radianes a grados
X°=(〖180〗^0*rad)/(π rad)
Grados a radianes
x= (π rad*cant en grados)/〖180〗grados
1) Cambia de radianes a grado:
a) 5 radianes
b) 6π /7 rad
c) -5π /12 rad
2) Cambia de grados a radianes:
a) 750
b) 1500
c) -150
Ejercicio de práctica:
1) Cambia de radianes a grado:
a) 1 radian.
b) 17π/10 radianes
2) Cambia de grados a radianes:
a) 240 grados
b) 270 grados
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